"When one doubles, what happens to the other?"
자연·생활·경제에서 가장 자주 만나는 두 변화의 패턴. 함께 늘어남, 또는 한쪽이 늘면 다른 쪽이 줄어듦.
"사탕 1개가 200원이면 5개는 1,000원" / "$10$명이 청소하면 $30$분 걸리는 일을 $1$명이 하면 $300$분." — 두 양이 함께 늘어나거나, 서로 반대로 움직이는 관계.
우리 일상에서 만나는 두 양 사이의 관계는 의외로 단순한 두 패턴으로 많이 묶입니다. 한쪽이 두 배가 되면 다른 쪽도 두 배가 되는 정비례, 그리고 한쪽이 두 배가 되면 다른 쪽은 반으로 줄어드는 반비례.
표·식·그래프 세 가지 언어로 같은 관계를 동시에 표현해 보면, 정비례는 원점을 지나는 직선으로, 반비례는 양 끝이 축에 무한히 가까워지는 쌍곡선으로 나타납니다. 똑같은 관계가 완전히 다른 모습을 가질 수 있다는 게 좌표의 위대한 통찰입니다.
피타고라스 학파는 음악에서 비례를 발견했습니다. 현의 길이가 $1:2$일 때 한 옥타브 차이, $2:3$이면 완전5도. "세상은 수의 비례로 이루어져 있다"는 그들의 신념은 오늘날 자연 법칙(중력·전기력·화학반응)의 수학적 표현으로 이어집니다. 정비례는 비례 사상의 가장 직접적인 후예입니다.
관계를 식으로, 식을 그래프로. 두 관계를 차례대로 익혀 갑니다.